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Arithmétique

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Arithmétique
Message de julius345 posté le 26-09-2021 à 17:47:51 (S | E | F)
Bonjour j'ai un exercice et je suis vraiment bloqué pourriez vous m'aider s'il vous plaît.

Soit n un entier, montrer que les entiers 3n+2 et 9n+5 n'ont pas de diviseur commun.

Le problème est que nous n'avons pas vu de théorème ( Bézoul) ni même PGCM mais uniquement combinaisons linéaires et règle générale sur la divisibilité dans Z.

Merci beaucoup de m'aider


Réponse : Arithmétique de tiruxa, postée le 26-09-2021 à 20:12:10 (S | E)
Bonjour
Posons a=3n+2
b=9n+5
Si k est un diviseur de a et b il divise toute combinaison linéaire de a et b.

Il suffit de choisir les bons coefficients pour que les n disparaissent (c'est pas très difficile)

Il faut de plus en déduire que k ne peut être que 1...



Réponse : Arithmétique de lemagemasque, postée le 26-09-2021 à 20:12:32 (S | E)
Bonjour,

Soit n un entier, montrer que les entiers 3n+2 et 9n+5 n'ont pas de diviseur commun autre que 1 et -1.

Soit n dans Z, supposons qu'il existe un entier d dans Z qui divise a = 3n + 2 et b = 9n + 5 alors d divise toute combinaison linéaire de a et b, notamment d divise x a + b avec x dans Z.
A vous de trouver le bon "x"

Bon courage !

-------------------
Modifié par lemagemasque le 26-09-2021 20:12
tiruxa !




Réponse : Arithmétique de tiruxa, postée le 26-09-2021 à 22:54:29 (S | E)
Lemagemasque ! Quelle synchronisation !



Réponse : Arithmétique de julius345, postée le 27-09-2021 à 07:37:30 (S | E)
Excusez-moi je'ai oublié d'écrire ce que j'avais trouvé.
n/ 3n+2
n/ 9n+5
n/ 1* (9n+5) - 3*(3n+2)
n/-1
Et donc 1 ou -1 sont les solutions.
Je ne suis vraiment pas sûr que ce soit juste.



Réponse : Arithmétique de tiruxa, postée le 27-09-2021 à 12:03:16 (S | E)
oui c'est cela
-1 et 1 sont les SEULES solutions



Réponse : Arithmétique de lemagemasque, postée le 28-09-2021 à 00:37:41 (S | E)
Bonjour,

Vous avez une rédaction assez concise : j'aurais rajouté une phrase du style "si un entier relatif d divise a = 3n + 2 et b = 9n + 5 alors d divise toute combinaison linéaire de a et b" et j'aurais développé l'expression 1* (9n+5) - 3*(3n+2) avant simplification.
Il y a d'ailleurs une erreur dans votre rédaction : vous écrivez "n | 3n + 2", "n | 9n+5" ; or "n" est déjà pris : choisissez une autre variable avant le signe |, comme d par exemple.
Je me permets également de corriger votre premier message : Bézout, PGCD (ou PPCM) (et n'ont pas de diviseur commun autre que 1 et -1).

Bonne journée !




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