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Application bijective

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Application bijective
Message de asmamoussaoui posté le 26-05-2022 à 02:52:36 (S | E | F)

Bonjour ! pouvez-vous me corriger l'exercice suivant et me rajouter ce qu'il manque ? merci d'avance !

Soit f une bijection de l’intervalle  [-1,3] sur  l’intervalle  [-1,1] et soit g l’application définie par g (x) = f  (2x – 1) .

Montrer que g est une bijection d’un intervalle I sur un  intervalle J. Que l’on précisera.

 

 

g(x) est une application bijective  g surjective et injective

{x1, xij ; x1=x2f(x1)=f(x2)

g(x1) = f(2x1-1)

g(x2) = f(2x2-1)

{f(2x1-1)= f(2x2-1)
2x1-1=2x2-1
x1=x2

alors c'est une application réciproque

on a : xI       g(x)=f(y)

g(x)=f(2x-1)=f(y)

y= 2x-1
x=(y+1)/2

alors c'est une application surjective

donc, g(x) est une application bijective

 




Réponse : Application bijective de tiruxa, postée le 26-05-2022 à 18:59:31 (S | E)
Bonjour

La première des choses est de trouver l'intervalle I

Soit l'ensemble des réels x tels que 2x-1 soit compris entre -1 et 3

On trouve rapidement que I=[0;2]

Personnellement j'écrirai que g=fou avec u définie de [0;2] sur [-1;3] par u(x)=2x-1.

Il suffit alors de démontrer que u est une bijection pour pouvoir conclure.

Ceci dit pour la rédaction
injection
Soit x1 et x2 dans I tels que g(x1)=g(x2)
g(x1) = f(2x1-1)
g(x2) = f(2x2-1)
donc
{f(2x1-1)= f(2x2-1)
comme f est injective, on a
2x1-1=2x2-1
donc x1=x2
donc g est injective

et pour la surjection :
Soit y dans [-1,1] cherchons x dans I tel que g(x)=y ou f(2x-1)=y
Comme f est bijective on sait qu'il existe z dans [-1,3] tel que f(z)=y
donc f(2x-1)=f(z)
or f est injective donc
2x-1=z
et x = (z+1)/2
comme z est dans [-1,3] on a bien x dans [0,2]
donc g est surjective



Réponse : Application bijective de hicham15, postée le 26-05-2022 à 19:54:35 (S | E)
Bonjour,

Je veux juste ajouter qq chose qui peut etre utile pour celui qui a posé la question.

On peut juste montrer l'existence et l'unicité de ce x (en surjectivité) pour conclure que c'est une application bijective.

C'est le cas, puisque z existe et c'est unique, puisque f est bijective et x = (z+1)/2.




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