Inéquation double valeur absolue
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Message de kadfr posté le 10-03-2026 à 17:47:42 (S | E | F)
Bonjour,
Je ne suis pas su^r du résultat de l'inéquation suivante:
I x-4 I < I 2x+7 I (valeur absolue)
Solution:
-( 2x+7 ) < x-4 < ( 2x+7 )
Résultat: x>-11 et x>-1
Merci d'avance.
Message de kadfr posté le 10-03-2026 à 17:47:42 (S | E | F)
Bonjour,
Je ne suis pas su^r du résultat de l'inéquation suivante:
I x-4 I < I 2x+7 I (valeur absolue)
Solution:
-( 2x+7 ) < x-4 < ( 2x+7 )
Résultat: x>-11 et x>-1
Merci d'avance.
Réponse : Inéquation double valeur absolue de tiruxa, postée le 10-03-2026 à 18:25:11 (S | E)
Bonjour
D'abord si x >-1 alors x>-11 donc votre solution serait x>-1
Mais elle est incomplète car on se rend compte qu'il y a des solutions négatives, -20 par ex.
Pour résoudre on peut par exemple utiliser ce résultat |a|<|b| <=> a²<b²
Donc ici on élève au carré on regroupe dans un membre, on divise par 3 et on obtient
x²+12x+11>0
Ce trinôme admet comme racines -11 et -1, il est positif à l'extérieur de ces racines
donc x<-11 OU x>-1
Réponse : Inéquation double valeur absolue de tiruxa, postée le 10-03-2026 à 18:36:49 (S | E)
Une autre méthode consiste à envisager trois intervalles, x<=-7/2, 7/2<x<4 et 4<=x
Supprimer alors les barres de valeur absolue et résoudre l'inéquation dans chaque intervalle puis réunir à la fin les intervalles solutions obtenus, c'est plus long mais le résultat est le même.
Réponse : Inéquation double valeur absolue de tiruxa, postée le 11-03-2026 à 10:49:49 (S | E)
La méthode que vous utilisiez
C'est à dire : si b est positif, |a|<b <=> -b<a<b
donnerait ici
-|2x+7| < x-4 < |2x+7|
D'où deux cas
si x supérieur à -7/2
-( 2x+7 ) < x-4 < ( 2x+7 ) qui donne x>-1 qui est bien dans l'intervalle de résolution
Si x inférieur à -7/2
2x+7 < x-4 < -( 2x+7 ) qui donne x<-11 là aussi dans l'intervalle de résolution
donc toujours le même résultat
Réponse : Inéquation double valeur absolue de chezmoi, postée le 13-03-2026 à 14:10:05 (S | E)
Bonjour
|x- 4|<|2x +7|
2x + 7 ≥ 0 ⇒ x ≥ -3½, x – 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4
Cas 1 : x ≥ 4
|x - 4|<|2x + 7| ⇒ x – 4 < 2x + 7 ⇒ x > -11 et x ≥ 4 ⇒ x ≥ 4
Cas 2 : -3½ ≤ x < 4,
Pour -3½ ≤ x < 4, |x – 4| < |2x + 7| ⇒ (4 – x) < (2x + 7) ⇒ -3 < 3x ⇒ -1 < x < 4
Cas 3 : x < -3½
Pour x < 3½, |x - 4|<|2x -7| ⇒ 4 – x < -(7 + 2x) ⇒ x < -11 Donc x < -11
La solution x < -11 ou x > -1
Réponse : Inéquation double valeur absolue de chezmoi, postée le 16-03-2026 à 21:42:25 (S | E)
Plus simplement
|x – 4| < |2x + 7|
-> Ou x – 4 < 2x + 7 ou 4 - x < 2x + 7
Donc -11 < x ou -3 < x
Réponse : Inéquation double valeur absolue de tiruxa, postée le 17-03-2026 à 10:47:03 (S | E)
Désolé chezmoi mais tu commets la même erreur que faisait kadfr l'auteur de ce post.
Il n'y a pas équivalence entre |a|<|b| et -b<a<b
ceci n'est vrai que dans le cas où b>0
Ok, ce que tu écris est a<b et -a<b
c'est à dire a<b et a>-b
donc -b<a<b, c'est bien la même chose
Donc cette méthode ne fonctionne pas
D'ailleurs ton résultat est faux
Tu obtiens
Donc -11 < x ou -3 < x
Or c'est x<-11 non pas x>-11
Pour -3<x qui est en fait -1<x (étourderie) cela est correct mais c'est exactement ce que disais kadfr au début de ce post. Il n'y a qu'une partie des solutions.
Réponse : Inéquation double valeur absolue de chezmoi, postée le 17-03-2026 à 21:14:53 (S | E)
Merci !
Réponse : Inéquation double valeur absolue de tiruxa, postée le 18-03-2026 à 14:54:05 (S | E)
Je suis souvent surpris de constater que l'on pose une question mais on ne vient pas voir la réponse, on pourrait penser que la personne a posté sur plusieurs forum, mais en ce moment je penche plutôt vers une utilisation de l'IA.
Sur le forum italien on a parlé longuement de l'IA.
J'ai donc voulu savoir ce que donnait l'IA dans ce cas précis.
Résoudre |x - 4| < |2x + 7|
Réponse de l'IA :
1) Les deux membres sont ≥ 0, on peut élever au carré (équivalence) :
(x - 4)^2 < (2x + 7)^2.
2) Développer la différence en factorisant la différence de carrés :
(2x + 7)^2 - (x - 4)^2 = [(2x+7) - (x-4)]·[(2x+7) + (x-4)]
= (x + 11)·(3x + 3).
L'inégalité devient donc
( x + 11 ) ( 3x + 3 ) > 0.
3) Simplifier/identifier les zéros :
3x + 3 = 3(x + 1). Les zéros sont x = −11 et x = −1.
4) Étudier le signe du produit :
- Produit > 0 pour x < −11 ou pour x > −1.
5) Conclusion (strictement < donc on exclut les zéros) :
Solution = { x ∈ R | x < −11 } ∪ { x ∈ R | x > −1 }.
A part quelques formulations bizarres "Développer la différence en factorisant..." c'est ni plus ni moins que la première méthode que je donnais et, à mon sens, la plus rapide.
Ok moi j'avais répondu en 37 minutes environ alors que l'IA met juste quelques secondes !
Plus rapide certes, mais sans les variantes que l'on a ensuite donné sur le forum, c'est évidemment moins formateur, la meilleure des formations étant d'arriver progressivement à la meilleure solution par erreurs corrections etc...
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