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Multiplication d'entiers

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Multiplication d'entiers
Message de stewart posté le 18-10-2020 à 22:59:57 (S | E | F)
Albert multiplie deux entiers dont la différence vaut 5 et Martin multiplie deux entiers dont la différence vaut 8. Ils obtiennent le même résultat, noté C. Quelles sont les valeurs possibles de C ?

Je ne sais comment déterminer toutes les valeurs de C.

En essayant,
Pour Albert, 0×5
Pour Martin, 0×8
C={0}


Réponse : Multiplication d'entiers de tiruxa, postée le 18-10-2020 à 23:25:47 (S | E)
Bonjour,

Je suppose que ces sont desentiers naturels (positifs donc)

Appelons x et x+5 les deux premiers puis y et y+8 les deux autres

On doit avoir x(x+5)=y(y+8) ou x²+5x=y²+8y

Utiliser les formes canoniques regrouper les inconnues dans un membre puis factoriser ce membre de façon à obtenir un produit égal à un entier ne dépendant pas des inconnues.

Décomposer cet entier et envisager tous les cas possibles. Bon travail



Réponse : Multiplication d'entiers de stewart, postée le 19-10-2020 à 18:23:25 (S | E)
Bonjour,
Merci infiniment de votre aide.
Je ne comprends pas la méthode, pourriez vous me l'expliquer à nouveau ?

"Utiliser les formes canoniques regrouper les inconnues dans un membre puis factoriser ce membre de façon à obtenir un produit égal à un entier ne dépendant pas des inconnues."



Réponse : Multiplication d'entiers de tiruxa, postée le 19-10-2020 à 19:56:33 (S | E)
Bonjour,

La forme canonique d'un trinôme a l'avantage de faire apparaître des carrés et de ne présenter qu'une seule fois la variable.

Pour y²-8y c'est le début du développement de (y-4)² il manque juste le troisième terme qui est 16.

Donc y²-8y=(y-4)²-16 (forme canonique)

Faire la même chose pour x²-5x qui peut s'écrire x²-2*2.5x, je vous laisse continuer...
Attention toutefois a ne faire apparaître que des entiers (il faudra donc chasser les dénominateurs)

Bon travail



Réponse : Multiplication d'entiers de stewart, postée le 20-10-2020 à 23:47:33 (S | E)
Bonsoir,
y²-8y=(y-4)²-16
Pour x²-5x j'ai trouvé (x-2,5)²-6,25



Réponse : Multiplication d'entiers de tiruxa, postée le 21-10-2020 à 12:16:02 (S | E)
Bonjour,

Oui désolé mais dans mon précédent post j'avais mis des signes - au lieu des signes +

C'est donc y²+8y=(y+4)²-16 et

x²+5x qui vaut donc (x+2.5)²-6.25

donc on a (y+4)²-(x+2.5)²=16-6.25

ou encore (y+4)²-(x+2.5)²=9.75

Or 2.5=5/2 et 9.75=39/4

Pour obtenir des entiers on doit multiplier par 4 les deux membres (comme 4=2² donc les parenthèses sont multipliées par 2 seulement)

Donc (2y+8)²-(2x+5)²=39

Ensuite factoriser le membre de gauche, on obtient un produit d'entiers voir les différentes façons de décomposer 39 en produit de deux entiers... (il n'y en a pas beaucoup...) et résoudre les systèmes obtenus pour trouver x et y.



Réponse : Multiplication d'entiers de wab51, postée le 22-10-2020 à 11:16:32 (S | E)
Bonjour
Et à titre subsidiaire,j'ai essayé de développer la question d'une autre manière par une interprétation géométrique dynamique ,tout en signalant que la bonne réponse est bien sur dans la méthode algébrique que vous aviez parfaitement bien précisée .Il ne reste peut-etre qu'à l'intervenant de présenter ses résultats .Bonne continuation



Réponse : Multiplication d'entiers de wab51, postée le 22-10-2020 à 11:18:33 (S | E)

Lien internet





Réponse : Multiplication d'entiers de stewart, postée le 22-10-2020 à 20:40:53 (S | E)
Bonsoir Tiruxa,

(2y+8)²-(2x+5)²=39

En factorisant, (2y-2x+3)(2x+2y+13) = 39

<=> 4y²-4x²+4xy-4xy-26x+6x+26y+6y+39 = 39

<=> 4y²-4x²-20x+32y = 0

Comment résoudre cette équation pour déterminer x et y ?

<=> x =
y =


(-5-(√(4y²+32y+25)))/2
ou
(-5+(√(4y²+32y+25)))/2


Décomposition en produit de deux entiers de 39 :
1 × 39 ou 3 × 13

Merci beaucoup.



Réponse : Multiplication d'entiers de tiruxa, postée le 22-10-2020 à 23:44:43 (S | E)
Bonjour,

Il fallait s'arrêter à :
En factorisant, (2y-2x+3)(2x+2y+13) = 39

On a deux entiers positifs (l'un est positif car x et y le sont et comme le produit est 39 le second doit aussi être positif)
leur produit est 39, comme 2x+2y+13 est le plus grand des deux il vaut donc 39 ou 13 alors que l'autre vaut respectivement 1 ou 3, cela donne deux systèmes faciles à résoudre.



Réponse : Multiplication d'entiers de stewart, postée le 23-10-2020 à 21:36:53 (S | E)
Bonsoir,

2x+2y+13 = 39 ou 13
<=> 2x+2y = 26 ou 0
<=> x = -y+13 ou -y
<=> y = 13-x ou -x

2y-2x+3 = 1 ou 2
<=> 2y-2x = -2 ou 0
<=> x = y+1 ou y
<=> y = x-1 ou x

Comment résoudre ces deux systèmes et trouver les valeurs de x et y ?

x(x+5) = y(y+8)
<=> (-y+13)((-y+13)+5)) = (13-x)((13-x)+8)
<=> y = 6

Donc, 6(6+8)=84=x(x+5)
84 ∈ C

Merci de m'avoir fait grandement avancer.



Réponse : Multiplication d'entiers de tiruxa, postée le 23-10-2020 à 23:09:59 (S | E)
Bonjour

Il y a deux systemes, ne pas les mélanger (le produit des facteurs deux doit faire 39 doc 39*1 d'une part et 13*3 d'autre part)

Le premier système :
2x+2y+13 = 39
2y-2x+3 = 1

Le deuxieme système :
2x+2y+13=13
2y-2x+3 = 3

Les résoudre par addition, on obtient rapidement y puis remplacer pour trouver x.




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